微分積分例

$f (x) = \frac{e^{(7 x^{2} - 3)}}{\ln (3 x + 5)}$

ステップ 1

$f (x) = e^{7 x^{2} - 3}$ および $g (x) = \ln (3 x + 5)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\ln (3 x + 5) \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} - 3}] - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 7 x^{2} - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $7 x^{2} - 3$ とします。

$\frac{\ln (3 x + 5) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 3]) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 3]) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $7 x^{2} - 3$ で置き換えます。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 3]) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $7 x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 3.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 3.4

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 3.5

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x + 0)) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 3.6

$14 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x + 5$ とします。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x + 5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x + 5$ で置き換えます。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} (\frac{1}{3 x + 5} \frac{d}{d x} [3 x + 5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{3 x + 5}$ と $e^{7 x^{2} - 3}$ をまとめます。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 5.2

総和則では、 $3 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 5.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 5.5

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 5.6

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 + 0)}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 5.7

分数をまとめます。

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ステップ 5.7.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} \cdot 3}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 5.7.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - 3 \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 5.7.3

$- 3$ と $\frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}$ をまとめます。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) + \frac{- 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 5.7.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 6

$\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ を掛けます。

$\frac{\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5)}{3 x + 5} - \frac{3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 8

$\frac{\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$ を積として書き換えます。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 9

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}$ に $\frac{1}{\ln^{2} (3 x + 5)}$ をかけます。

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{14 \ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} x) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 10.1.1.2

対数の中の $14$ を移動させて $14 \ln (3 x + 5)$ を簡約します。

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 10.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) (3 x) + \ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) \cdot 5 - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 10.1.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x \cdot x + \ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) \cdot 5 - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 10.1.1.5

$\ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 10.1.1.5.1

$\ln ({(3 x + 5)}^{14})$ と $5$ を並べ替えます。

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x \cdot x + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot (5 \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{14})) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 10.1.1.5.2

対数の中の $5$ を移動させて $5 \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{14})$ を簡約します。

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x \cdot x + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 10.1.1.6

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.1.6.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 10.1.1.6.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} (x \cdot x) + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 10.1.1.6.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 10.1.1.6.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln ({(3 x + 5)}^{14})$ を簡約します。

$\frac{\ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{3}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 10.1.1.6.3

${({(3 x + 5)}^{14})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 10.1.1.6.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{14 \cdot 3}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 10.1.1.6.3.2

$14$ に $3$ をかけます。

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 10.1.1.6.4

${({(3 x + 5)}^{14})}^{5}$ の指数を掛けます。

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ステップ 10.1.1.6.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{14 \cdot 5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 10.1.1.6.4.2

$14$ に $5$ をかけます。

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 10.1.2

$\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} e^{7 x^{2} - 3} \ln ({(3 x + 5)}^{42}) + x e^{7 x^{2} - 3} \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

ステップ 10.2

項を並べ替えます。

$\frac{e^{7 x^{2} - 3} x^{2} \ln ({(3 x + 5)}^{42}) + e^{7 x^{2} - 3} x \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{\ln^{2} (3 x + 5) (3 x + 5)}$

微分積分 例

微分積分例