微分積分例

$y = \cos (a^{3} + x^{3})$

ステップ 1

$f (a) = \cos (a)$ および $g (a) = a^{3} + x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ は $f' (g (a)) g' (a)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $a^{3} + x^{3}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d a} [a^{3} + x^{3}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d a} [a^{3} + x^{3}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $a^{3} + x^{3}$ で置き換えます。

$- \sin (a^{3} + x^{3}) \frac{d}{d a} [a^{3} + x^{3}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $a^{3} + x^{3}$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [a^{3}] + \frac{d}{d a} [x^{3}]$ です。

$- \sin (a^{3} + x^{3}) (\frac{d}{d a} [a^{3}] + \frac{d}{d a} [x^{3}])$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (a^{3} + x^{3}) (3 a^{2} + \frac{d}{d a} [x^{3}])$

ステップ 2.3

$x^{3}$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $x^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$- \sin (a^{3} + x^{3}) (3 a^{2} + 0)$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$3 a^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- \sin (a^{3} + x^{3}) (3 a^{2})$

ステップ 2.4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 \sin (a^{3} + x^{3}) a^{2}$

ステップ 2.4.3

$- 3 \sin (a^{3} + x^{3}) a^{2}$ の因数を並べ替えます。

$- 3 a^{2} \sin (a^{3} + x^{3})$

微分積分 例