微分積分例

$y = x \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (\frac{1}{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})] + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$x (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$x (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{- 2} x^{1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{- 2 + 1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$x^{- 1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.2

$- 1$ を $\cos (\frac{1}{x})$ の左に移動させます。

$x^{- 1} (- 1 \cdot \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.3

$- 1 \cos (\frac{1}{x})$ を $- \cos (\frac{1}{x})$ に書き換えます。

$x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \cdot 1$

ステップ 8

$\sin (\frac{1}{x})$ に $1$ をかけます。

$x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 9.2

$\frac{1}{x}$ と $\cos (\frac{1}{x})$ をまとめます。

$- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x} + \sin (\frac{1}{x})$

微分積分 例

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