微分積分例

$y = \frac{\ln (x)}{e^{2 x}}$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 2

${(e^{2 x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

ステップ 2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{e^{2 x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

ステップ 4

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

ステップ 5

$\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

ステップ 6

項を簡約します。

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ステップ 6.1

まとめる。

$\frac{x (\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

ステップ 6.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

ステップ 6.3.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

ステップ 7

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

ステップ 7.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

ステップ 7.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

ステップ 8

微分します。

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ステップ 8.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

ステップ 8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

ステップ 8.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} \cdot 1))}{x e^{4 x}}$

ステップ 8.4

$e^{2 x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{2 x} - 2 x (\ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

ステップ 9.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

ステップ 9.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{2 x} - x (\ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

$\frac{e^{2 x} - x e^{2 x} \ln (x^{2})}{x e^{4 x}}$

ステップ 9.2

項を並べ替えます。

$\frac{- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

ステップ 9.3

$e^{2 x}$ を $- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}$ で因数分解します。

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ステップ 9.3.1

$e^{2 x}$ を $- e^{2 x} x \ln (x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

ステップ 9.3.2

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1}{e^{4 x} x}$

ステップ 9.3.3

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2}) + 1)}{e^{4 x} x}$

ステップ 9.4

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{2})$ を展開します。

$\frac{e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{e^{4 x} x}$

ステップ 9.5

$e^{2 x}$ と $e^{4 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.5.1

$e^{4 x}$ を $e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

ステップ 9.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.5.2.1

$e^{4 x}$ を $e^{4 x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} (x)}$

ステップ 9.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

ステップ 9.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{x}$

ステップ 9.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x \ln (x) + 1)}{x}$

ステップ 9.7

$- 1$ を $- 2 x \ln (x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) + 1)}{x}$

ステップ 9.8

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

ステップ 9.9

$- 1$ を $- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

ステップ 9.10

$- (2 x \ln (x) - 1)$ を $- 1 (2 x \ln (x) - 1)$ に書き換えます。

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

ステップ 9.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x \ln (x) - 1)}{x}$

微分積分 例

微分積分例