微分積分例

$y = x^{1 - x}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

$x^{1 - x}$ を $e^{\ln (x^{1 - x})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{1 - x})}]$

ステップ 1.2

$1 - x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{1 - x})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{(1 - x) \ln (x)}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = (1 - x) \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $(1 - x) \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $(1 - x) \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{(1 - x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

ステップ 3

$f (x) = 1 - x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 5.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 5.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 5.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot 1))$

ステップ 5.6

式を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 1)$

ステップ 5.6.2

$- 1$ を $\ln (x)$ の左に移動させます。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - 1 \cdot \ln (x))$

ステップ 5.6.3

$- 1 \ln (x)$ を $- \ln (x)$ に書き換えます。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

ステップ 6.3

項をまとめます。

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ステップ 6.3.1

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

ステップ 6.3.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

ステップ 6.3.3

$\frac{1}{x}$ と $x$ をまとめます。

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

ステップ 6.3.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.4.1

共通因数を約分します。

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

ステップ 6.3.4.2

式を書き換えます。

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 \cdot 1 - \ln (x))$

ステップ 6.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 - \ln (x))$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} \frac{1}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

ステップ 6.5

簡約します。

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ステップ 6.5.1

$e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

ステップ 6.5.2

$- 1$ を $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ の左に移動させます。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

ステップ 6.5.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 6.6

$- 1 e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ を $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ に書き換えます。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 6.7

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot \frac{x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 6.8

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 6.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 6.10

$e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ を $e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ で因数分解します。

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ステップ 6.10.1

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 6.10.2

$e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ を $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 6.10.3

$e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ を $e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 6.11

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 6.12

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

ステップ 6.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

ステップ 6.14

$e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ を $e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ で因数分解します。

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ステップ 6.14.1

$e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ を $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ で因数分解します。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)}{x}$

ステップ 6.14.2

$e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ を $e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$

ステップ 6.15

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - x \ln (x))}{x}$

微分積分 例

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