微分積分例

$y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 1

総和則では、 $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x e^{x}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 3.5

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$e^{x} (2 x)$ から $2 x e^{x}$ を引きます。

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ステップ 5.2.1.1

$e^{x}$ を移動させます。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 5.2.1.2

$2 x e^{x}$ から $2 x e^{x}$ を引きます。

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 5.2.2

$x^{2} e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 5.2.3

$- 2 e^{x}$ と $2 e^{x}$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} + 0$

ステップ 5.2.4

$x^{2} e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} e^{x}$

ステップ 5.3

$x^{2} e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} x^{2}$

ステップ 5.4

$e^{x} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} e^{x}$

微分積分 例

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