微分積分例

$y = {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ で置き換えます。

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2} + 1$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$2$ を $x^{2} - 1$ の左に移動させます。

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 \cdot (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

分数をまとめます。

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ステップ 3.8.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.3

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{(2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x) \cdot 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}} {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2}$

ステップ 3.8.4

$3$ を $2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ に当てはめます。

$\frac{3 (2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.6

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (2 x^{2} x) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7

項をまとめます。

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ステップ 4.7.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (2 (x^{1} x^{2})) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 (2 x^{1 + 2}) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 (2 x^{3}) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 x^{3} + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 x^{3} + 3 (- 2 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.6

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.7

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 x^{1 + 2}) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.9

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 x^{3}) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.10

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 x^{3} - 6 x - 6 x^{3} + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.11

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 x^{3} - 6 x - 6 x^{3} + 3 (- 2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.12

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 x^{3} - 6 x - 6 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.13

$6 x^{3}$ から $6 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 6 x + 0 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.14

$- 6 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 6 x - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.15

$- 6 x$ から $6 x$ を引きます。

$\frac{- 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.16

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.17

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ に $\frac{12 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ をかけます。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.18

指数を足して ${(x^{2} - 1)}^{2}$ に ${(x^{2} - 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.7.18.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2 + 2}}$

ステップ 4.7.18.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 4.7.19

$12$ を ${(x^{2} + 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 4.8

分母を簡約します。

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ステップ 4.8.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{4}}$

ステップ 4.8.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{((x + 1) (x - 1))}^{4}}$

ステップ 4.8.3

積の法則を $(x + 1) (x - 1)$ に当てはめます。

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

ステップ 4.9

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{12 x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

微分積分 例

微分積分例