微分積分例

$y = \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = 1 - \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ をたし算します。

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{\sin (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{\sin (x) (- - \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4

掛け算します。

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ステップ 3.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin (x) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.6

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.9

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.10

簡約します。

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ステップ 3.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 - - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.10.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.10.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.10.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.10.3.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.10.3.1.2

$- 1 \cos (x)$ を $- \cos (x)$ に書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.10.3.1.3

$- - \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.10.3.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.10.3.1.3.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.10.3.1.4

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.10.3.1.4.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.10.3.1.4.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.10.3.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.10.3.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.10.3.2

$\cos^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.10.3.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

微分積分 例

微分積分例