微分積分例

$\ln (y) = x \ln (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (x \ln (x))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{y} y'$

ステップ 2.3

$\frac{1}{y}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{y'}{y}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2.2

式を書き換えます。

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \ln (x) \cdot 1$

ステップ 3.3.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$1 + \ln (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x)$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に $y$ を掛けます。

$\frac{y'}{y} y = (1 + \ln (x)) y$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} y = (1 + \ln (x)) y$

ステップ 5.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = (1 + \ln (x)) y$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$(1 + \ln (x)) y$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y' = 1 y + \ln (x) y$

ステップ 5.2.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.2.1

$y$ に $1$ をかけます。

$y' = y + \ln (x) y$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$y + \ln (x) y$ の因数を並べ替えます。

$y' = y + y \ln (x)$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = y + y \ln (x)$

微分積分 例

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