微分積分例

$f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = 4 x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(4 x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$4 x^{2} - 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $4 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$2$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x + 0)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.8.1

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x \cdot x}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x^{1 + 1}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.7

$4 x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 1}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$f (x) = - 4 x^{2} - 1$ および $g (x) = {(4 x^{2} - 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{({(4 x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

${({(4 x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.2.2

総和則では、 $- 4 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.2.3

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.2.5

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.2.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.2.7

$- 8 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 4 x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x^{2} - 1$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $4 x^{2} - 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (2 (4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.4.2

総和則では、 $4 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.4.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.4.5

$2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.4.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x + 0))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.4.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.7.1

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.4.7.2

$8$ を $4 x^{2} - 1$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) (8 \cdot ((4 x^{2} - 1) x))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.4.7.3

$8$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 16 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) ((4 x^{2} - 1) x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 8 {(4 x^{2} - 1)}^{2} x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.2

${(4 x^{2} - 1)}^{2}$ を $(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 8 ((4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2} - 1) - 1 (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.4.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.4.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{2 + 2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.4.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{4}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.4.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.4.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.4.1.5

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.4.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.4.2

$- 4 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 8 x^{2} + 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(- 8 (16 x^{4}) - 8 (- 8 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.6.1

$16$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} - 8 (- 8 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.6.2

$- 8$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} + 64 x^{2} - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.6.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} + 64 x^{2} - 8) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.7

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{4} x + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.8.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.8.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 128 (x \cdot x^{4}) + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.8.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 128 (x \cdot x^{4}) + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.8.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{1 + 4} + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.8.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.8.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.8.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.8.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.8.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{1 + 2} - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.8.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.9.1

$- 4$ に $- 16$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.9.2

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.10.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.10.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 (x \cdot x^{2}) - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.10.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.10.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 (x \cdot x^{2}) - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.10.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{1 + 2} - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.10.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.10.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.11

分配法則（FOIL法）を使って $(64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3} - x) + 16 (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.11.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.11.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{2} x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{3 + 2}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.2.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{5}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.3

$64$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{2} x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.5.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{3}) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.6

$64$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.7

$4$ に $16$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 64 x^{3} + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.12.1.8

$- 1$ に $16$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 64 x^{3} - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.12.2

$- 64 x^{3}$ と $64 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 0 - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.1.12.3

$256 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.2

$- 128 x^{5}$ と $256 x^{5}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3.3

$- 8 x$ から $16 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{128 x^{5} + 64 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.4.1

$8 x$ を $128 x^{5} + 64 x^{3} - 24 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.4.1.1

$8 x$ を $128 x^{5}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 64 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.1.2

$8 x$ を $64 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2}) - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.1.3

$8 x$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.1.4

$8 x$ を $8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4} + 8 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.1.5

$8 x$ を $8 x (16 x^{4} + 8 x^{2}) + 8 x (- 3)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4} + 8 x^{2} - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + 8 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.4

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.4.4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 16 \cdot - 3 = - 48$ で和が $b = 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.4.4.1.1

$8$ を $8 u$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + 8 (u) - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.4.1.2

$8$ を $- 4$ プラス $12$ に書き換える

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + (- 4 + 12) u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.4.1.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} - 4 u + 12 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.4.4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$f'' (x) = \frac{8 x ((16 u^{2} - 4 u) + 12 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 x (4 u (4 u - 1) + 3 (4 u - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.4.3

最大公約数 $4 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 x ((4 u - 1) (4 u + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{8 x ((4 x^{2} - 1) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.6

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{8 x (({(2 x)}^{2} - 1) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.7

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{8 x (({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.4.8

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x$ であり、 $b = 1$ です。

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.5.1

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{({(2 x)}^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.5.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{({(2 x)}^{2} - 1^{2})}^{4}}$

ステップ 1.2.5.5.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x$ であり、 $b = 1$ です。

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{((2 x + 1) (2 x - 1))}^{4}}$

ステップ 1.2.5.5.4

積の法則を $(2 x + 1) (2 x - 1)$ に当てはめます。

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.6

$2 x + 1$ と ${(2 x + 1)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.6.1

$2 x + 1$ を $8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{{(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.6.2.1

$2 x + 1$ を ${(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{(2 x + 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4})}$

ステップ 1.2.5.6.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{(2 x + 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4})}$

ステップ 1.2.5.6.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.7

$2 x - 1$ と ${(2 x - 1)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.7.1

$2 x - 1$ を $(8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.7.2.1

$2 x - 1$ を ${(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{(2 x - 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3})}$

ステップ 1.2.5.7.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{(2 x - 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3})}$

ステップ 1.2.5.7.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(8 x) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$ です。

$\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$8 x (4 x^{2} + 3) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.3.3

$4 x^{2} + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$4 x^{2} + 3$ が $0$ に等しいとします。

$4 x^{2} + 3 = 0$

ステップ 2.3.3.2

$x$ について $4 x^{2} + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$4 x^{2} = - 3$

ステップ 2.3.3.2.2

$4 x^{2} = - 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.1

$4 x^{2} = - 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 3}{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

ステップ 2.3.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

ステップ 2.3.3.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.4.1

$- \frac{3}{4}$ を ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.3.2.4.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

ステップ 2.3.3.2.4.1.2

$3$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

ステップ 2.3.3.2.4.1.3

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 2.3.3.2.4.1.4

分数 $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

ステップ 2.3.3.2.4.1.5

$i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ を ${(\frac{i}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

ステップ 2.3.3.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

ステップ 2.3.3.2.4.3

$\frac{i}{2}$ と $\sqrt{3}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.3.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.3.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.3.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.3.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.4

最終解は $8 x (4 x^{2} + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{0}{4 {(0)}^{2} - 1}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{4 \cdot 0 - 1}$

ステップ 3.1.2.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

ステップ 3.1.2.1.3

$0$ から $1$ を引きます。

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 3.1.2.2

$0$ を $- 1$ で割ります。

$f (0) = 0$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = \frac{8 (- 0.1) (4 {(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$8$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.8 (4 {(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 0.8$ に $4 {(- 0.1)}^{2} + 3$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{(- 0.2 + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$- 0.2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$2$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(- 0.2 - 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.4

$- 0.2$ から $1$ を引きます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(- 1.2)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.5

$0.8$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{0.512 {(- 1.2)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.6

$- 1.2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{0.512 \cdot - 1.728}$

ステップ 5.2.3

式を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$0.512$ に $- 1.728$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{- 0.884736}$

ステップ 5.2.3.2

$- 2.432$ を $- 0.884736$ で割ります。

$f'' (- 0.1) = 2.74884259$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $2.74884259$ です。

$2.74884259$

ステップ 5.3

$- 0.1$ で二次導関数は $2.74884259$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = \frac{8 (0.1) (4 {(0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$8$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{0.8 (4 \cdot {0.1}^{2} + 3)}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$0.8$ に $4 \cdot {0.1}^{2} + 3$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{(0.2 + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$0.2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$2$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(0.2 - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.4

$0.2$ から $1$ を引きます。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(- 0.8)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.5

$1.2$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{1.728 {(- 0.8)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.6

$- 0.8$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{1.728 \cdot - 0.512}$

ステップ 6.2.3

式を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$1.728$ に $- 0.512$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{- 0.884736}$

ステップ 6.2.3.2

$2.432$ を $- 0.884736$ で割ります。

$f'' (0.1) = - 2.74884259$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- 2.74884259$ です。

$- 2.74884259$

ステップ 6.3

$0.1$ で二次導関数は $- 2.74884259$ です。これは負の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, \infty)$ で減少

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(0, 0)$ です。

$(0, 0)$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例