微分積分例

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x)$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (9 x)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 9 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$9$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 9$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $3 x^{2} + 12 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 1.2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 1.2.3.3

$12$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + 12 + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 1.2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.2.4.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x + 12 + 0$

ステップ 1.2.4.2

$6 x + 12$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x + 12$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x + 12$ です。

$6 x + 12$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x + 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x + 12 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$6 x = - 12$

ステップ 2.3

$6 x = - 12$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$6 x = - 12$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 12}{6}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 12}{6}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 12}{6}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 12$ を $6$ で割ります。

$x = - 2$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$- 2$ を $f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 9 (- 2)$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f (- 2) = - 8 + 6 {(- 2)}^{2} + 9 (- 2)$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = - 8 + 6 \cdot 4 + 9 (- 2)$

ステップ 3.1.2.1.3

$6$ に $4$ をかけます。

$f (- 2) = - 8 + 24 + 9 (- 2)$

ステップ 3.1.2.1.4

$9$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = - 8 + 24 - 18$

ステップ 3.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 3.1.2.2.1

$- 8$ と $24$ をたし算します。

$f (- 2) = 16 - 18$

ステップ 3.1.2.2.2

$16$ から $18$ を引きます。

$f (- 2) = - 2$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$ で代入して $- 2$ 求めた点は、 $(- 2, - 2)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2, - 2)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2.1$ で置換えます。

$f'' (- 2.1) = 6 (- 2.1) + 12$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$6$ に $- 2.1$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = - 12.6 + 12$

ステップ 5.2.2

$- 12.6$ と $12$ をたし算します。

$f'' (- 2.1) = - 0.6$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 0.6$ です。

$- 0.6$

ステップ 5.3

$- 2.1$ で二次導関数は $- 0.6$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 2)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 2, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.9$ で置換えます。

$f'' (- 1.9) = 6 (- 1.9) + 12$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$6$ に $- 1.9$ をかけます。

$f'' (- 1.9) = - 11.4 + 12$

ステップ 6.2.2

$- 11.4$ と $12$ をたし算します。

$f'' (- 1.9) = 0.6$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.6$ です。

$0.6$

ステップ 6.3

$- 1.9$ で二次導関数は $0.6$ です。これは正の値なので、 $(- 2, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 2, \infty)$ で増加

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(- 2, - 2)$ です。

$(- 2, - 2)$

ステップ 8

微分積分 例

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