微分積分例

$\int_{0}^{π} x \cos (x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \cos (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x \sin (x)]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

ステップ 2

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π})$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

代入し簡約します。

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ステップ 3.1.1

$π$ および $0$ で $x \sin (x)$ の値を求めます。

$(π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{π})$

ステップ 3.1.2

$π$ および $0$ で $- \cos (x)$ の値を求めます。

$(π \sin (π)) + 0 \sin (0) - ((- \cos (π)) + \cos (0))$

ステップ 3.1.3

簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

$0$ に $\sin (0)$ をかけます。

$π \sin (π) + 0 - ((- \cos (π)) + \cos (0))$

ステップ 3.1.3.2

$π \sin (π)$ と $0$ をたし算します。

$π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0))$

ステップ 3.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$π \sin (π) - (- \cos (π) + 1)$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$π \sin (0) - (- \cos (π) + 1)$

ステップ 3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1)$

ステップ 3.3.3

$π$ に $0$ をかけます。

$0 - (- \cos (π) + 1)$

ステップ 3.3.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$0 - (- - \cos (0) + 1)$

ステップ 3.3.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

ステップ 3.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - (- - 1 + 1)$

ステップ 3.3.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 - (1 + 1)$

ステップ 3.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$0 - 1 \cdot 2$

ステップ 3.3.9

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0 - 2$

ステップ 3.3.10

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2$

微分積分 例

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