微分積分例

$\sec (x - \frac{π}{2})$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = x - \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - \frac{π}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\sec (u)$ の微分係数は $\sec (u) \tan (u)$ です。

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x - \frac{π}{2}$ で置き換えます。

$\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x - \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ です。

$\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

ステップ 1.2.3

$- \frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \cdot 1$

ステップ 1.2.4.2

$\sec (x - \frac{π}{2})$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = \sec (x - \frac{π}{2})$ および $g (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 2.2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = x - \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x - \frac{π}{2}$ とします。

$\sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 2.2.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$\sec (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x - \frac{π}{2}$ で置き換えます。

$\sec (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 2.3

$\sec (x - \frac{π}{2})$ を $1$ 乗します。

$\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{1} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\sec (x - \frac{π}{2})}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 2.5

微分します。

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ステップ 2.5.1

$2$ と $1$ をたし算します。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 2.5.2

総和則では、 $x - \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ です。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 2.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 2.5.4

$- \frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 2.5.5

式を簡約します。

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ステップ 2.5.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \cdot 1 + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 2.5.5.2

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ に $1$ をかけます。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 2.6

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = x - \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x - \frac{π}{2}$ とします。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

ステップ 2.6.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

ステップ 2.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x - \frac{π}{2}$ で置き換えます。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

ステップ 2.7

$\tan (x - \frac{π}{2})$ を $1$ 乗します。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

ステップ 2.8

$\tan (x - \frac{π}{2})$ を $1$ 乗します。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

ステップ 2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + {\tan (x - \frac{π}{2})}^{1 + 1} (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

ステップ 2.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

ステップ 2.11

総和則では、 $x - \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ です。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

ステップ 2.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

ステップ 2.13

$- \frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)$

ステップ 2.14

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) \cdot 1$

ステップ 2.14.2

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ に $1$ をかけます。

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2})$

ステップ 2.14.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$ です。

$\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2})]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = \tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ および $g (x) = \sec (x - \frac{π}{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})] + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = x - \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x - \frac{π}{2}$ とします。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\sec (u_{1})$ の微分係数は $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ です。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x - \frac{π}{2}$ で置き換えます。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.3

総和則では、 $x - \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ です。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.5

$- \frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.6

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\tan (x - \frac{π}{2})$ とします。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})]) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})]) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (x - \frac{π}{2})$ で置き換えます。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})]) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.7

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = x - \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $x - \frac{π}{2}$ とします。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.7.2

$u_{3}$ に関する $\tan (u_{3})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{3})$ です。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.7.3

$u_{3}$ のすべての発生を $x - \frac{π}{2}$ で置き換えます。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.8

総和則では、 $x - \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ です。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.10

$- \frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \cdot 1) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.12

$\sec (x - \frac{π}{2})$ に $1$ をかけます。

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.13

指数を足して $\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ に $\tan (x - \frac{π}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.13.1

$\tan (x - \frac{π}{2})$ を移動させます。

$\tan (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.13.2

$\tan (x - \frac{π}{2})$ に $\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.13.2.1

$\tan (x - \frac{π}{2})$ を $1$ 乗します。

$\tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.13.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\tan (x - \frac{π}{2})}^{1 + 2} \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.13.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.14

$1$ と $0$ をたし算します。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.15

$\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ に $1$ をかけます。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{2} (x - \frac{π}{2})) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.16

$\sec (x - \frac{π}{2})$ を $1$ 乗します。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{1} (x - \frac{π}{2}) \sec^{2} (x - \frac{π}{2})) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) {\sec (x - \frac{π}{2})}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.2.18

$1$ と $2$ をたし算します。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \sec (x - \frac{π}{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $\sec (x - \frac{π}{2})$ とします。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ は $n {u_{4}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.3.1.3

$u_{4}$ のすべての発生を $\sec (x - \frac{π}{2})$ で置き換えます。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = x - \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{5}$ を $x - \frac{π}{2}$ とします。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{5}} [\sec (u_{5})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

ステップ 3.3.2.2

$u_{5}$ に関する $\sec (u_{5})$ の微分係数は $\sec (u_{5}) \tan (u_{5})$ です。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (u_{5}) \tan (u_{5}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

ステップ 3.3.2.3

$u_{5}$ のすべての発生を $x - \frac{π}{2}$ で置き換えます。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $x - \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ です。

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

ステップ 3.3.5

$- \frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))$

ステップ 3.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \cdot 1)$

ステップ 3.3.7

$\sec (x - \frac{π}{2})$ に $1$ をかけます。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}))$

ステップ 3.3.8

$\sec (x - \frac{π}{2})$ を $1$ 乗します。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 (\sec^{1} (x - \frac{π}{2}) \sec^{2} (x - \frac{π}{2})) \tan (x - \frac{π}{2})$

ステップ 3.3.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 {\sec (x - \frac{π}{2})}^{1 + 2} \tan (x - \frac{π}{2})$

ステップ 3.3.10

$1$ と $2$ をたし算します。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$

ステップ 3.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ の因数を並べ替えます。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$

ステップ 3.4.2

$2 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$ と $3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$ をたし算します。

$f''' (x) = \tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$ です。

$\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$f (x) = \tan^{3} (x - \frac{π}{2})$ および $g (x) = \sec (x - \frac{π}{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})] + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.2

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = x - \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x - \frac{π}{2}$ とします。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\sec (u_{1})$ の微分係数は $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ です。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x - \frac{π}{2}$ で置き換えます。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.3

総和則では、 $x - \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ です。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.5

$- \frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.6

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\tan (x - \frac{π}{2})$ とします。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})]) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.6.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})]) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (x - \frac{π}{2})$ で置き換えます。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})]) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.7

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = x - \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $x - \frac{π}{2}$ とします。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.7.2

$u_{3}$ に関する $\tan (u_{3})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{3})$ です。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.7.3

$u_{3}$ のすべての発生を $x - \frac{π}{2}$ で置き換えます。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.8

総和則では、 $x - \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ です。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.10

$- \frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \cdot 1) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.12

$\sec (x - \frac{π}{2})$ に $1$ をかけます。

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.13

指数を足して $\tan^{3} (x - \frac{π}{2})$ に $\tan (x - \frac{π}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.13.1

$\tan (x - \frac{π}{2})$ を移動させます。

$\tan (x - \frac{π}{2}) \tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.13.2

$\tan (x - \frac{π}{2})$ に $\tan^{3} (x - \frac{π}{2})$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.13.2.1

$\tan (x - \frac{π}{2})$ を $1$ 乗します。

$\tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.13.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\tan (x - \frac{π}{2})}^{1 + 3} \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.13.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.14

$1$ と $0$ をたし算します。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.15

$\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ に $1$ をかけます。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{2} (x - \frac{π}{2})) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.16

$\sec (x - \frac{π}{2})$ を $1$ 乗します。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{1} (x - \frac{π}{2}) \sec^{2} (x - \frac{π}{2})) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) {\sec (x - \frac{π}{2})}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.2.18

$1$ と $2$ をたし算します。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$ です。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 4.3.2

$f (x) = \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ および $g (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})])$

ステップ 4.3.3

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = x - \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $x - \frac{π}{2}$ とします。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})])$

ステップ 4.3.3.2

$u_{4}$ に関する $\tan (u_{4})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{4})$ です。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})])$

ステップ 4.3.3.3

$u_{4}$ のすべての発生を $x - \frac{π}{2}$ で置き換えます。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})])$

ステップ 4.3.4

総和則では、 $x - \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ です。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})])$

ステップ 4.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})])$

ステップ 4.3.6

$- \frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})])$

ステップ 4.3.7

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \sec (x - \frac{π}{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{5}$ を $\sec (x - \frac{π}{2})$ とします。

ステップ 4.3.7.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ は $n {u_{5}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

ステップ 4.3.7.3

$u_{5}$ のすべての発生を $\sec (x - \frac{π}{2})$ で置き換えます。

ステップ 4.3.8

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = x - \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{6}$ を $x - \frac{π}{2}$ とします。

ステップ 4.3.8.2

$u_{6}$ に関する $\sec (u_{6})$ の微分係数は $\sec (u_{6}) \tan (u_{6})$ です。

ステップ 4.3.8.3

$u_{6}$ のすべての発生を $x - \frac{π}{2}$ で置き換えます。

ステップ 4.3.9

総和則では、 $x - \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ です。

ステップ 4.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

ステップ 4.3.11

$- \frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

ステップ 4.3.12

$1$ と $0$ をたし算します。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \cdot 1) + \tan (x - \frac{π}{2}) (3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))))$

ステップ 4.3.13

$\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ に $1$ をかけます。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))))$

ステップ 4.3.14

指数を足して $\sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ に $\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.14.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 ({\sec (x - \frac{π}{2})}^{3 + 2} + \tan (x - \frac{π}{2}) (3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))))$

ステップ 4.3.14.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))))$

ステップ 4.3.15

$1$ と $0$ をたし算します。

ステップ 4.3.16

$\sec (x - \frac{π}{2})$ に $1$ をかけます。

ステップ 4.3.17

$\sec (x - \frac{π}{2})$ を $1$ 乗します。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (3 (\sec^{1} (x - \frac{π}{2}) \sec^{2} (x - \frac{π}{2})) \tan (x - \frac{π}{2})))$

ステップ 4.3.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (3 {\sec (x - \frac{π}{2})}^{1 + 2} \tan (x - \frac{π}{2})))$

ステップ 4.3.19

$1$ と $2$ をたし算します。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})))$

ステップ 4.3.20

$\tan (x - \frac{π}{2})$ を $1$ 乗します。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})))$

ステップ 4.3.21

$\tan (x - \frac{π}{2})$ を $1$ 乗します。

ステップ 4.3.22

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) {\tan (x - \frac{π}{2})}^{1 + 1})$

ステップ 4.3.23

$1$ と $1$ をたし算します。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2}))$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

分配則を当てはめます。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 \sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + 5 (3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2}))$

ステップ 4.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$3$ に $5$ をかけます。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 \sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + 15 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2}))$

ステップ 4.4.2.2

$3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ の因数を並べ替えます。

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) + 5 \sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + 15 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2})$

ステップ 4.4.2.3

$3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ と $15 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ をたし算します。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 18 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) + 5 \sec^{5} (x - \frac{π}{2})$

微分積分 例

微分積分例