微分積分例

$y = x \sqrt{1 - x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.7.4

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.8

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.13

分数をまとめます。

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ステップ 4.13.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.13.2

$- 2$ と $\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.13.3

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.14

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.15

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.17

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.18

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.19

共通因数を約分します。

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ステップ 4.19.1

$2$ を $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.19.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.19.3

式を書き換えます。

$\frac{- x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.20

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.21

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 4.22

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.23

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.24

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.25

指数を足して ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.25.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.25.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.25.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.25.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.26

${(1 - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$\frac{- x^{2} + 1 - x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.27

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.28

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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