微分積分例

$x \cos (y) + y \cos (x) = 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x \cos (y) + y \cos (x)) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x \cos (y) + y \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (y)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

ステップ 2.2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

ステップ 2.2.5

$\cos (y)$ に $1$ をかけます。

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = y$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) + y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) + y (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) + y (- \sin (x)) + \cos (x) y'$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$- x \sin (y) y' - y \sin (x) + \cos (x) y' + \cos (y)$

ステップ 3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- x \sin (y) y' - y \sin (x) + \cos (x) y' + \cos (y) = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- x \sin (y) y' - y \sin (x) + \cos (x) y' + \cos (y)$ の因数を並べ替えます。

$- x y' \sin (y) - y \sin (x) + y' \cos (x) + \cos (y) = 0$

ステップ 5.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $y \sin (x)$ を足します。

$- x y' \sin (y) + y' \cos (x) + \cos (y) = y \sin (x)$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺から $\cos (y)$ を引きます。

$- x y' \sin (y) + y' \cos (x) = y \sin (x) - \cos (y)$

ステップ 5.3

$y'$ を $- x y' \sin (y) + y' \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を $- x y' \sin (y)$ で因数分解します。

$y' (- x \sin (y)) + y' (\cos (x)) = y \sin (x) - \cos (y)$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $y' \cos (x)$ で因数分解します。

$y' (- x \sin (y)) + y' (\cos (x)) = y \sin (x) - \cos (y)$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $y' (- x \sin (y)) + y' (\cos (x))$ で因数分解します。

$y' (- x \sin (y) + \cos (x)) = y \sin (x) - \cos (y)$

ステップ 5.4

$y' (- x \sin (y) + \cos (x)) = y \sin (x) - \cos (y)$ の各項を $- x \sin (y) + \cos (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y' (- x \sin (y) + \cos (x)) = y \sin (x) - \cos (y)$ の各項を $- x \sin (y) + \cos (x)$ で割ります。

$\frac{y' (- x \sin (y) + \cos (x))}{- x \sin (y) + \cos (x)} = \frac{y \sin (x)}{- x \sin (y) + \cos (x)} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + \cos (x)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$- x \sin (y) + \cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- x \sin (y) + \cos (x))}{- x \sin (y) + \cos (x)} = \frac{y \sin (x)}{- x \sin (y) + \cos (x)} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + \cos (x)}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y \sin (x)}{- x \sin (y) + \cos (x)} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + \cos (x)}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{y \sin (x)}{- x \sin (y) + \cos (x)} - \frac{\cos (y)}{- x \sin (y) + \cos (x)}$

ステップ 5.4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y \sin (x) - \cos (y)}{- x \sin (y) + \cos (x)}$

ステップ 5.4.3.3

$- 1$ を $- x \sin (y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \sin (x) - \cos (y)}{- (x \sin (y)) + \cos (x)}$

ステップ 5.4.3.4

$- 1$ を $\cos (x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \sin (x) - \cos (y)}{- (x \sin (y)) - 1 (- \cos (x))}$

ステップ 5.4.3.5

$- 1$ を $- (x \sin (y)) - 1 (- \cos (x))$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \sin (x) - \cos (y)}{- (x \sin (y) - \cos (x))}$

ステップ 5.4.3.6

負の数を書き換えます。

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ステップ 5.4.3.6.1

$- (x \sin (y) - \cos (x))$ を $- 1 (x \sin (y) - \cos (x))$ に書き換えます。

$y' = \frac{y \sin (x) - \cos (y)}{- 1 (x \sin (y) - \cos (x))}$

ステップ 5.4.3.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y \sin (x) - \cos (y)}{x \sin (y) - \cos (x)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x) - \cos (y)}{x \sin (y) - \cos (x)}$

微分積分 例

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