微分積分例

$y = \ln ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ および $g (x) = x^{4} + 5 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{4} + 5 x^{2}$ とします。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

ステップ 2.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{4} + 5 x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

ステップ 6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

ステップ 7

$\frac{3}{2}$ と ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

ステップ 8

$\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ に $\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

ステップ 9

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

ステップ 10

分母を簡約します。

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ステップ 10.1

指数を足して ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ に ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 10.1.1

${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{3}{2 ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

ステップ 10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

ステップ 10.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{- 1 + 3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

ステップ 10.1.4

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

ステップ 10.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

ステップ 10.2

$2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

ステップ 11

総和則では、 $x^{4} + 5 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ です。

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 12

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 13

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 14

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 (2 x))$

ステップ 15

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3}{2 x^{4} + 2 (5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

ステップ 16.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$

ステップ 16.3

$\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$ の因数を並べ替えます。

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}}$

ステップ 16.4

$2 x^{2}$ を $2 x^{4} + 10 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 16.4.1

$2 x^{2}$ を $2 x^{4}$ で因数分解します。

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 10 x^{2}}$

ステップ 16.4.2

$2 x^{2}$ を $10 x^{2}$ で因数分解します。

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)}$

ステップ 16.4.3

$2 x^{2}$ を $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)$ で因数分解します。

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

ステップ 16.5

$4 x^{3} + 10 x$ に $\frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$ をかけます。

$\frac{(4 x^{3} + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

ステップ 16.6

分子を簡約します。

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ステップ 16.6.1

$2 x$ を $4 x^{3} + 10 x$ で因数分解します。

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ステップ 16.6.1.1

$2 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

ステップ 16.6.1.2

$2 x$ を $10 x$ で因数分解します。

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

ステップ 16.6.1.3

$2 x$ を $2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (2 x^{2} + 5) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

ステップ 16.6.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 x (2 x^{2} + 5)}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

ステップ 16.7

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.7.1

$2$ を $6 x (2 x^{2} + 5)$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

ステップ 16.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 16.7.2.1

$2$ を $2 x^{2} (x^{2} + 5)$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

ステップ 16.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

ステップ 16.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x (2 x^{2} + 5)}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

ステップ 16.8

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.8.1

$x$ を $3 x (2 x^{2} + 5)$ で因数分解します。

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

ステップ 16.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 16.8.2.1

$x$ を $x^{2} (x^{2} + 5)$ で因数分解します。

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

ステップ 16.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

ステップ 16.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (2 x^{2} + 5)}{x (x^{2} + 5)}$

微分積分 例

微分積分例