微分積分例

$7 \cos (x y) = 3 x + 8 y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (7 \cos (x y)) = \frac{d}{d y} (3 x + 8 y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$7$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $7 \cos (x y)$ の微分係数は $7 \frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ です。

$7 \frac{d}{d y} [\cos (x y)]$

ステップ 2.2

$f (y) = \cos (y)$ および $g (y) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$7 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y])$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$7 (- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$7 (- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y])$

ステップ 2.3

$- 1$ に $7$ をかけます。

$- 7 (\sin (x y) \frac{d}{d y} [x y])$

ステップ 2.4

$f (y) = x$ および $g (y) = y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 7 \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 2.5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 7 \sin (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 2.5.2

$x$ に $1$ をかけます。

$- 7 \sin (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 2.6

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$- 7 \sin (x y) (x + y x')$

ステップ 2.7

簡約します。

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ステップ 2.7.1

分配則を当てはめます。

$- 7 \sin (x y) x - 7 \sin (x y) (y x')$

ステップ 2.7.2

項を並べ替えます。

$- 7 x \sin (x y) - 7 y \sin (x y) x'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 x + 8 y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y]$ です。

$\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d y} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8 y]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$3 x' + \frac{d}{d y} [8 y]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [8 y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$8$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $8 y$ の微分係数は $8 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$3 x' + 8 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x' + 8 \cdot 1$

ステップ 3.3.3

$8$ に $1$ をかけます。

$3 x' + 8$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 7 x \sin (x y) - 7 y \sin (x y) x' = 3 x' + 8$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- 7 x \sin (x y) - 7 y \sin (x y) x'$ の因数を並べ替えます。

$- 7 x \sin (x y) - 7 y x' \sin (x y) = 3 x' + 8$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3 x'$ を引きます。

$- 7 x \sin (x y) - 7 y x' \sin (x y) - 3 x' = 8$

ステップ 5.3

方程式の両辺に $7 x \sin (x y)$ を足します。

$- 7 y x' \sin (x y) - 3 x' = 8 + 7 x \sin (x y)$

ステップ 5.4

$x'$ を $- 7 y x' \sin (x y) - 3 x'$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$x'$ を $- 7 y x' \sin (x y)$ で因数分解します。

$x' (- 7 y \sin (x y)) - 3 x' = 8 + 7 x \sin (x y)$

ステップ 5.4.2

$x'$ を $- 3 x'$ で因数分解します。

$x' (- 7 y \sin (x y)) + x' \cdot - 3 = 8 + 7 x \sin (x y)$

ステップ 5.4.3

$x'$ を $x' (- 7 y \sin (x y)) + x' \cdot - 3$ で因数分解します。

$x' (- 7 y \sin (x y) - 3) = 8 + 7 x \sin (x y)$

ステップ 5.5

$x' (- 7 y \sin (x y) - 3) = 8 + 7 x \sin (x y)$ の各項を $- 7 y \sin (x y) - 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$x' (- 7 y \sin (x y) - 3) = 8 + 7 x \sin (x y)$ の各項を $- 7 y \sin (x y) - 3$ で割ります。

$\frac{x' (- 7 y \sin (x y) - 3)}{- 7 y \sin (x y) - 3} = \frac{8}{- 7 y \sin (x y) - 3} + \frac{7 x \sin (x y)}{- 7 y \sin (x y) - 3}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$- 7 y \sin (x y) - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (- 7 y \sin (x y) - 3)}{- 7 y \sin (x y) - 3} = \frac{8}{- 7 y \sin (x y) - 3} + \frac{7 x \sin (x y)}{- 7 y \sin (x y) - 3}$

ステップ 5.5.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{8}{- 7 y \sin (x y) - 3} + \frac{7 x \sin (x y)}{- 7 y \sin (x y) - 3}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{- 7 y \sin (x y) - 3}$

ステップ 5.5.3.2

$- 1$ を $- 7 y \sin (x y)$ で因数分解します。

$x' = \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{- (7 y \sin (x y)) - 3}$

ステップ 5.5.3.3

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x' = \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{- (7 y \sin (x y)) - 1 (3)}$

ステップ 5.5.3.4

$- 1$ を $- (7 y \sin (x y)) - 1 (3)$ で因数分解します。

$x' = \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{- (7 y \sin (x y) + 3)}$

ステップ 5.5.3.5

負の数を書き換えます。

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ステップ 5.5.3.5.1

$- (7 y \sin (x y) + 3)$ を $- 1 (7 y \sin (x y) + 3)$ に書き換えます。

$x' = \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{- 1 (7 y \sin (x y) + 3)}$

ステップ 5.5.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{7 y \sin (x y) + 3}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{7 y \sin (x y) + 3}$

微分積分 例

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