微分積分例

$\sum_{i = 1}^{10} i (i^{2} + 1)$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$i \cdot i^{2} + i \cdot 1$

ステップ 1.2

指数を足して $i$ に $i^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1

$i$ に $i^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.2.1.1

$i$ を $1$ 乗します。

$i^{1} i^{2} + i \cdot 1$

ステップ 1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$i^{1 + 2} + i \cdot 1$

$i^{1 + 2} + i \cdot 1$

ステップ 1.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$i^{3} + i \cdot 1$

$i^{3} + i \cdot 1$

ステップ 1.3

$i$ に $1$ をかけます。

$i^{3} + i$

ステップ 1.4

総和を書き換えます。

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i$

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i = \sum_{i = 1}^{10} i^{3} + \sum_{i = 1}^{10} i$

ステップ 3

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

次数 $3$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

ステップ 3.2

値を公式に代入します。

$\frac{10^{2} {(10 + 1)}^{2}}{4}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$10$ と $1$ をたし算します。

$\frac{10^{2} \cdot 11^{2}}{4}$

ステップ 3.3.1.2

$10$ を $2$ 乗します。

$\frac{100 \cdot 11^{2}}{4}$

ステップ 3.3.1.3

$11$ を $2$ 乗します。

$\frac{100 \cdot 121}{4}$

$\frac{100 \cdot 121}{4}$

ステップ 3.3.2

式を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$100$ に $121$ をかけます。

$\frac{12100}{4}$

ステップ 3.3.2.2

$12100$ を $4$ で割ります。

$3025$

$3025$

$3025$

$3025$

ステップ 4

$\sum_{i = 1}^{10} i$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 4.2

値を公式に代入します。

$\frac{10 (10 + 1)}{2}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$10$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.1

$2$ を $10 (10 + 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2}$

ステップ 4.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 (1)}$

ステップ 4.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5 (10 + 1)}{1}$

ステップ 4.3.1.2.4

$5 (10 + 1)$ を $1$ で割ります。

$5 (10 + 1)$

$5 (10 + 1)$

$5 (10 + 1)$

ステップ 4.3.2

式を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$10$ と $1$ をたし算します。

$5 \cdot 11$

ステップ 4.3.2.2

$5$ に $11$ をかけます。

$55$

$55$

$55$

$55$

ステップ 5

合計した結果をたします。

$3025 + 55$

ステップ 6

$3025$ と $55$ をたし算します。

$3080$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$