微分積分例

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sec (t)$ とします。次に $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \sec^{1} (t) \sec^{3} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

ステップ 2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

ステップ 2.2.1.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\int \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

ステップ 2.2.1.4

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2.1.5

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

ステップ 2.2.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 2.2.1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$4$ を $2$ プラス $2$ に書き換える

$\int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

ステップ 2.2.2.2

${\sec (t)}^{2 + 2}$ を $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$\int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (t)$ を $1 + \tan^{2} (t)$ に書き換えます。

$\int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 4

$u = \tan (t)$ とします。次に $d u = \sec^{2} (t) d t$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \tan (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\tan (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

ステップ 4.1.2

$t$ に関する $\tan (t)$ の微分係数は $\sec^{2} (t)$ です。

$\sec^{2} (t)$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

ステップ 5

$(1 + u^{2}) u^{2}$ を掛けます。

$\int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 6.2

指数を足して $u^{2}$ に $u^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

ステップ 6.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int u^{2} + u^{4} d u$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C$

ステップ 10

簡約します。

$\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u$ のすべての発生を $\tan (t)$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t) + C$

ステップ 11.2

$t$ のすべての発生を $arcsec (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (x)) + C$

微分積分 例

微分積分例