微分積分例

$y = \frac{x^{6}}{1 - x^{5}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = 1 - x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 - x^{5}) (6 x^{5}) - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 2.2

$6$ を $1 - x^{5}$ の左に移動させます。

$\frac{6 \cdot (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $1 - x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ です。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ をたし算します。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [- x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 2.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{5}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 2.7

掛け算します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + 1 x^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 2.7.2

$x^{6}$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 2.8

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{6} (5 x^{4})}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 3

指数を足して $x^{6}$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$x^{4}$ を移動させます。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{4} x^{6} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{4 + 6} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 3.3

$4$ と $6$ をたし算します。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{10} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 4

$5$ を $x^{10}$ の左に移動させます。

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + 5 \cdot x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(6 \cdot 1 + 6 (- x^{5})) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{6 \cdot 1 x^{5} + 6 (- x^{5}) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{5}) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

指数を足して $x^{5}$ に $x^{5}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1.2.1

$x^{5}$ を移動させます。

$\frac{6 x^{5} + 6 (- (x^{5} x^{5})) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{5 + 5}) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.3

$5$ と $5$ をたし算します。

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{10}) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{6 x^{5} - 6 x^{10} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$- 6 x^{10}$ と $5 x^{10}$ をたし算します。

$\frac{6 x^{5} - x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{10} + 6 x^{5}}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5

$x^{5}$ を $- x^{10} + 6 x^{5}$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$x^{5}$ を $- x^{10}$ で因数分解します。

$\frac{x^{5} (- x^{5}) + 6 x^{5}}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5.2

$x^{5}$ を $6 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{x^{5} (- x^{5}) + x^{5} \cdot 6}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5.3

$x^{5}$ を $x^{5} (- x^{5}) + x^{5} \cdot 6$ で因数分解します。

$\frac{x^{5} (- x^{5} + 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.6

$- 1$ を $- x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{x^{5} (- (x^{5}) + 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.7

$6$ を $- 1 (- 6)$ に書き換えます。

$\frac{x^{5} (- (x^{5}) - 1 (- 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.8

$- 1$ を $- (x^{5}) - 1 (- 6)$ で因数分解します。

$\frac{x^{5} (- (x^{5} - 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.9

$- (x^{5} - 6)$ を $- 1 (x^{5} - 6)$ に書き換えます。

$\frac{x^{5} (- 1 (x^{5} - 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{5} (x^{5} - 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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