微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} - 6 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 6 x - 36 \cdot 1$

ステップ 1.1.4.3

$- 36$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 36$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{2} - 6 x - 36$ です。

$6 x^{2} - 6 x - 36$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} - 6 x - 36 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} - 6 x - 36 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$6$ を $6 x^{2} - 6 x - 36$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) - 6 x - 36 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$6$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 (- x) - 36 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$6$ を $- 36$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 (- x) + 6 (- 6) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$6$ を $6 (x^{2}) + 6 (- x)$ で因数分解します。

$6 (x^{2} - x) + 6 (- 6) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$6$ を $6 (x^{2} - x) + 6 (- 6)$ で因数分解します。

$6 (x^{2} - x - 6) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 ((x - 3) (x + 2)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (x - 3) (x + 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.6

最終解は $6 (x - 3) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$3$ を $x$ に代入します。

$2 {(3)}^{3} - 3 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot 27 - 3 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ に $27$ をかけます。

$54 - 3 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

ステップ 4.1.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$54 - 3 \cdot 9 - 36 \cdot 3$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 3$ に $9$ をかけます。

$54 - 27 - 36 \cdot 3$

ステップ 4.1.2.1.5

$- 36$ に $3$ をかけます。

$54 - 27 - 108$

ステップ 4.1.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$54$ から $27$ を引きます。

$27 - 108$

ステップ 4.1.2.2.2

$27$ から $108$ を引きます。

$- 81$

ステップ 4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$2 {(- 2)}^{3} - 3 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot - 8 - 3 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2$

ステップ 4.2.2.1.2

$2$ に $- 8$ をかけます。

$- 16 - 3 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 16 - 3 \cdot 4 - 36 \cdot - 2$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 3$ に $4$ をかけます。

$- 16 - 12 - 36 \cdot - 2$

ステップ 4.2.2.1.5

$- 36$ に $- 2$ をかけます。

$- 16 - 12 + 72$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$- 16$ から $12$ を引きます。

$- 28 + 72$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 28$ と $72$ をたし算します。

$44$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(3, - 81), (- 2, 44)$

ステップ 5

微分積分 例

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