微分積分例

$y = \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x) + \tan (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x) + \tan (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

ステップ 2

総和則では、 $\sec (x) + \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 3

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 4

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ の因数を並べ替えます。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 5.3

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ と $\sec (x)$ をまとめます。

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 5.3.2

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ と $\tan (x)$ をまとめます。

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 5.4

$\sec^{2} (x)$ と $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ をまとめます。

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 5.6

$\sec (x)$ を $\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.6.1

$\sec (x)$ を $\sec (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 5.6.2

$\sec (x)$ を $\sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 5.6.3

$\sec (x)$ を $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

微分積分 例

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