微分積分例

$\ln (\cos (2 x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cos (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (2 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (2 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$\sec (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\sec (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

ステップ 4.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))$ の因数を並べ替えます。

$- 2 \sec (2 x) \sin (2 x)$

ステップ 5.2

正弦と余弦に関して $\sec (2 x)$ を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

ステップ 5.3

$- 2$ と $\frac{1}{\cos (2 x)}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

ステップ 5.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

ステップ 5.5

$\sin (2 x)$ と $\frac{2}{\cos (2 x)}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (2 x) \cdot 2}{\cos (2 x)}$

ステップ 5.6

$2$ を $\sin (2 x)$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cdot \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$

ステップ 5.7

分数を分解します。

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})$

ステップ 5.8

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ を $\tan (2 x)$ に変換します。

$- (\frac{2}{1} \tan (2 x))$

ステップ 5.9

$2$ を $1$ で割ります。

$- (2 \tan (2 x))$

ステップ 5.10

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \tan (2 x)$

微分積分 例

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