微分積分例

$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 5$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}}) = \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 2.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 2.2.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 2.2.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 2.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} y'$

ステップ 2.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

ステップ 2.3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

ステップ 2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

ステップ 2.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2 - 3}{3}} y'$

ステップ 2.3.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{- 1}{3}} y'$

ステップ 2.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{- \frac{1}{3}} y'$

ステップ 2.3.8

$\frac{2}{3}$ と $y^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3} y'$

ステップ 2.3.9

$\frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 y^{- \frac{1}{3}} y'}{3}$

ステップ 2.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2.4.2

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 3

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ を引きます。

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 5.2

両辺に $3 y^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}}) = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.3.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.3.1.1.3

$y^{\frac{1}{3}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.3.1.1.3.2

式を書き換えます。

$2 y' = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1.1

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 y' = \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.3.2.1.1.2

$3$ を $3 x^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$2 y' = \frac{- 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} (3 y^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.3.2.1.1.3

$3$ を $3 y^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$2 y' = \frac{- 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} (3 (y^{\frac{1}{3}}))$

ステップ 5.3.2.1.1.4

共通因数を約分します。

$2 y' = \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.3.2.1.1.5

式を書き換えます。

$2 y' = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.3.2.1.2

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}}}$ と $y^{\frac{1}{3}}$ をまとめます。

$2 y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 5.3.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 5.4

$2 y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$2 y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.4.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.2.1

$- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.4.3.2.2

$2$ を $- 2 y^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.4.3.2.3

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.4.3.2.4

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 5.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

微分積分 例

微分積分例