微分積分例

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 4 x^{2} y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2} + y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} + y^{2}$ で置き換えます。

$2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$2 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

ステップ 2.5.2

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ の因数を並べ替えます。

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2} y$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x^{2} y' + y (2 x))$

ステップ 3.5

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$4 (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$4 (x^{2} y') + 4 (2 y x)$

ステップ 3.6.2

$2$ に $4$ をかけます。

$4 x^{2} y' + 8 y x$

ステップ 3.6.3

項を並べ替えます。

$4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.2

0を加えて簡約します。

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

分配則を当てはめます。

$2 x (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.3.2

分配則を当てはめます。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.3.3

分配則を当てはめます。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.4.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.4.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.4.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.4.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.4.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.4.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.4.6

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.4.7

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.7.1

$y^{2}$ を移動させます。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.4.7.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.7.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.4.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.4.7.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.1.4.8

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = 4 x^{2} y' + 8 x y$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $4 x^{2} y'$ を引きます。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y$

ステップ 5.3

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $4 x^{3}$ を引きます。

$4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3}$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺から $4 x y^{2}$ を引きます。

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

ステップ 5.4

$4 y'$ を $4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$4 y'$ を $4 y y' x^{2}$ で因数分解します。

$4 y' (y x^{2}) + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

ステップ 5.4.2

$4 y'$ を $4 y^{3} y'$ で因数分解します。

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

ステップ 5.4.3

$4 y'$ を $- 4 x^{2} y'$ で因数分解します。

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

ステップ 5.4.4

$4 y'$ を $4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3}$ で因数分解します。

$4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

ステップ 5.4.5

$4 y'$ を $4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2})$ で因数分解します。

$4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

ステップ 5.5

$4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ の各項を $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ の各項を $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ で割ります。

$\frac{4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

ステップ 5.5.2.2

$y x^{2} + y^{3} - x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1.1

$8$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1.1.1

$4$ を $8 x y$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

ステップ 5.5.3.1.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

ステップ 5.5.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

ステップ 5.5.3.1.1.2

$- 4$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1.2.1

$4$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

ステップ 5.5.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

ステップ 5.5.3.1.1.2.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

ステップ 5.5.3.1.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

ステップ 5.5.3.1.1.4

$- 4$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1.4.1

$4$ を $- 4 x y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

ステップ 5.5.3.1.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

ステップ 5.5.3.1.1.4.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

ステップ 5.5.3.1.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

ステップ 5.5.3.1.2

1つの分数にまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 x y - x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

ステップ 5.5.3.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 x y - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

ステップ 5.5.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.2.1

$x$ を $2 x y - x^{3} - x y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.2.1.1

$x$ を $2 x y$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (2 y) - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

ステップ 5.5.3.2.1.2

$x$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

ステップ 5.5.3.2.1.3

$x$ を $- x y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

ステップ 5.5.3.2.1.4

$x$ を $x (2 y) + x (- x^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

ステップ 5.5.3.2.1.5

$x$ を $x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

ステップ 5.5.3.2.2

$- 1 y^{2}$ を $- y^{2}$ に書き換えます。

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例