微分積分例

$\int \frac{1}{1 - \sin (x)} d x$

ステップ 1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\int \frac{1}{1 - (2 (\sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})))} d x$

ステップ 2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 3

独立変数に $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$ を掛ける

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1

まとめる。

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 4.2

${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 {\sec (\frac{x}{2})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {\sec (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

ステップ 5.2

${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 6

各項を簡約します。

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ステップ 6.1

正弦と余弦に関して $\sec (\frac{x}{2})$ を書き換えます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 6.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ に当てはめます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 6.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 6.4

正弦と余弦に関して $\sec (\frac{x}{2})$ を書き換えます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

ステップ 6.5

積の法則を $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ に当てはめます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

ステップ 6.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

ステップ 6.7

$\cos (\frac{x}{2})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.7.1

$\cos (\frac{x}{2})$ を $- 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})$ で因数分解します。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

ステップ 6.7.2

$\cos (\frac{x}{2})$ を $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ で因数分解します。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

ステップ 6.7.3

共通因数を約分します。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

ステップ 6.7.4

式を書き換えます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

ステップ 6.8

$\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ と $- 2$ をまとめます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})} \sin (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 6.9

$\frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})}$ と $\sin (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

ステップ 6.10

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ を $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ に変換します。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

ステップ 8

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ を $2 \tan (\frac{x}{2})$ に変換します。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

ステップ 9

$\sec^{2} (x)$ を $1 + \tan^{2} (x)$ に変換します。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

ステップ 10

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \tan (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 11

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 11.1

項を並べ替えます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 11.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 11.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 \tan (\frac{x}{2}) = 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2})$

ステップ 11.4

多項式を書き換えます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 11.5

$a = 1$ と $b = \tan (\frac{x}{2})$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(1 - \tan (\frac{x}{2}))}^{2}} d x$

ステップ 12

$u_{1} = \frac{x}{2}$ とします。次に $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ すると、 $2 d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 12.1

$u_{1} = \frac{x}{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 12.1.1

$\frac{x}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 12.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 12.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 12.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} (1 \cdot 2) d u_{1}$

ステップ 13.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot 2 d u_{1}$

ステップ 13.3

$\frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}}$ と $2$ をまとめます。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

ステップ 13.4

$2$ を $\sec^{2} (u_{1})$ の左に移動させます。

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

ステップ 14

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

ステップ 15

$u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = - \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $- \frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 15.1

$u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 15.1.1

$1 - \tan (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - \tan (u_{1})]$

ステップ 15.1.2

微分します。

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ステップ 15.1.2.1

総和則では、 $1 - \tan (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

ステップ 15.1.2.2

$1$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

ステップ 15.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ の値を求めます。

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ステップ 15.1.3.1

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $- \tan (u_{1})$ の微分係数は $- \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$ です。

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

ステップ 15.1.3.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$0 - \sec^{2} (u_{1})$

ステップ 15.1.4

$0$ から $\sec^{2} (u_{1})$ を引きます。

$- \sec^{2} (u_{1})$

ステップ 15.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 16

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 17

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

ステップ 18

式を簡約します。

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ステップ 18.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 18.2

${u_{2}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

ステップ 18.3

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 18.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

ステップ 18.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

ステップ 19

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- 2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $- {u_{2}}^{- 1}$ です。

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

ステップ 20

簡約します。

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ステップ 20.1

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ を $- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ に書き換えます。

$- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

ステップ 20.2

簡約します。

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ステップ 20.2.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 \frac{1}{u_{2}} + C$

ステップ 20.2.2

$2$ と $\frac{1}{u_{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{u_{2}} + C$

ステップ 21

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 21.1

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - \tan (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{2}{1 - \tan (u_{1})} + C$

ステップ 21.2

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{x}{2})} + C$

ステップ 22

項を並べ替えます。

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{1}{2} x)} + C$

微分積分 例

微分積分例