微分積分例

$\frac{1}{x}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

ステップ 2.1.2

最終的な答えは $\frac{1}{x + h}$ です。

$\frac{1}{x + h}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{x + h}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h}{x + h}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h) x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{1}{x + h}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{x + h}{x + h}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

$(x + h) x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5

因数分解した形で $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.5.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2

$x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3

$0$ から $h$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$- \frac{h}{x (x + h)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

$h$ を $- h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.3

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.4

式を書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x (x + h)}$

ステップ 4.4

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{x (x + h)}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$- 1$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{x (x + h)}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{x}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}$

ステップ 5.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}$

ステップ 5.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}$

ステップ 5.5

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}$

ステップ 6

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + 0}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 7.2

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$- \frac{1}{x \cdot x}$

ステップ 7.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{x^{1} x}$

ステップ 7.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

ステップ 7.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{x^{1 + 1}}$

ステップ 7.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 8

微分積分 例

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