微分積分例

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

ステップ 2

微分係数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 6 x + 0$

ステップ 2.3.2

$3 x^{2} - 6 x$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 6 x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 6 x = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

$3 x$ を $3 x^{2} - 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x) - 6 x = 0$

ステップ 3.1.2

$3 x$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

ステップ 3.1.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (- 2)$ で因数分解します。

$3 x (x - 2) = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 3.5

最終解は $3 x (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 4

$x = 0$ における元の関数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

ステップ 4.2.1.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

ステップ 4.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 1$

ステップ 4.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = 1$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 5

$x = 2$ における元の関数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ を解きます。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = 8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

ステップ 5.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 8 - 3 \cdot 4 + 1$

ステップ 5.2.1.3

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 8 - 12 + 1$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$8$ から $12$ を引きます。

$f (2) = - 4 + 1$

ステップ 5.2.2.2

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f (2) = - 3$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 6

関数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ の水平接線は $y = 1, y = - 3$ です。

$y = 1, y = - 3$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例