微分積分例

$\int_{0}^{1} x^{9} {(1 + x^{10})}^{9} d x$

ステップ 1

$u = 1 + x^{10}$ とします。次に $d u = 10 x^{9} d x$ すると、 $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 + x^{10}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + x^{10}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{10}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $1 + x^{10}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

ステップ 1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

ステップ 1.1.4

$n = 10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 10 x^{9}$

ステップ 1.1.5

$0$ と $10 x^{9}$ をたし算します。

$10 x^{9}$

ステップ 1.2

$u = 1 + x^{10}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 0^{10}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 1.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 + x^{10}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 1^{10}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 1.5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{2} u^{9} \frac{1}{10} d u$

ステップ 2

$u^{9}$ と $\frac{1}{10}$ をまとめます。

$\int_{1}^{2} \frac{u^{9}}{10} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{10}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{10}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{10} \int_{1}^{2} u^{9} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{9}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{10} u^{10}$ です。

$\frac{1}{10} \frac{1}{10} u^{10}]_{1}^{2}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ および $1$ で $\frac{1}{10} u^{10}$ の値を求めます。

$\frac{1}{10} ((\frac{1}{10} \cdot 2^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $10$ 乗します。

$\frac{1}{10} (\frac{1}{10} \cdot 1024 - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{10}$ と $1024$ をまとめます。

$\frac{1}{10} (\frac{1024}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

ステップ 5.2.3

$1024$ と $10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$2$ を $1024$ で因数分解します。

$\frac{1}{10} (\frac{2 (512)}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

ステップ 5.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1)$

ステップ 5.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10})$

ステップ 5.2.6

$\frac{512}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10})$

ステップ 5.2.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $10$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.2.7.1

$\frac{512}{5}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{10})$

ステップ 5.2.7.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{10} - \frac{1}{10})$

ステップ 5.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{512 \cdot 2 - 1}{10}$

ステップ 5.2.9

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.9.1

$512$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1024 - 1}{10}$

ステップ 5.2.9.2

$1024$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1023}{10}$

ステップ 5.2.10

$\frac{1}{10}$ に $\frac{1023}{10}$ をかけます。

$\frac{1023}{10 \cdot 10}$

ステップ 5.2.11

$10$ に $10$ をかけます。

$\frac{1023}{100}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1023}{100}$

10進法形式：

$10.23$

帯分数形：

$10 \frac{23}{100}$

ステップ 7

微分積分 例

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