微分積分例

$\int x \ln (3 + x) d x$

ステップ 1

$u = \ln (3 + x)$ と $d v = x$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (3 + x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 3} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\ln (3 + x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 3} d x$

ステップ 2.2

$\ln (3 + x)$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 3} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 3} d x)$

ステップ 4

$x^{2}$ と $\frac{1}{x + 3}$ をまとめます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 3} d x$

ステップ 5

$x^{2}$ を $x + 3$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 5.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 3 x$ の符号をすべて変更します。

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$

ステップ 5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$

ステップ 5.7

被除数 $- 3 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$

ステップ 5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$9$

ステップ 5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x - 9$ の符号をすべて変更します。

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$9$

ステップ 5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$9$
							+	$9$

ステップ 5.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 3 + \frac{9}{x + 3} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{9}{x + 3} d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x + \int \frac{9}{x + 3} d x)$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int \frac{9}{x + 3} d x)$

ステップ 9

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + 9 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

ステップ 10

$u = x + 3$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$u = x + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 10.1.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 10.1.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 10.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 10.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + 9 \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 11

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + 9 (\ln (| u |) + C))$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (3 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) + C$

ステップ 12.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (3 + x)$ をまとめます。

$\frac{\ln (3 + x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) + C$

ステップ 12.2.2

$\frac{\ln (3 + x)}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) + C$

ステップ 12.2.3

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 12.2.4

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 12.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 12.2.6

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 12.2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

ステップ 12.2.8

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

ステップ 12.2.9

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.9.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

ステップ 12.2.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.9.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

ステップ 12.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

ステップ 12.2.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

ステップ 12.2.9.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| x + 3 |))}{2} + C$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$9 \ln (| x + 3 |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2}}{2} + 9 \ln (| x + 3 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

ステップ 14.2

$9 \ln (| x + 3 |)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{9 \ln (| x + 3 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

ステップ 14.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2} + 9 \ln (| x + 3 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

ステップ 14.4

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |)}{2})}{2} + C$

ステップ 14.5

分配則を当てはめます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x) - \frac{x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |)}{2}}{2} + C$

ステップ 14.6

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + 3 x - \frac{x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |)}{2}}{2} + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (\ln (3 + x) x^{2} + 3 x - \frac{1}{2} (x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |))) + C$

微分積分 例

微分積分例