微分積分例

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 100}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 10 \tan (t)$ とします。次に $d x = 10 \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $10 \sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(10 \tan (t))}^{2} + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{{(10 \tan (t))}^{2} + 100}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

積の法則を $10 \tan (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{10^{2} \tan^{2} (t) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$10$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{\sqrt{100 \tan^{2} (t) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$100$ を $100 \tan^{2} (t) + 100$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$100$ を $100 \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t)) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.2.2

$100$ を $100$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t)) + 100 (1)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.2.3

$100$ を $100 (\tan^{2} (t)) + 100 (1)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t) + 1)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{100 \sec^{2} (t)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$100 \sec^{2} (t)$ を ${(10 \sec (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(10 \sec (t))}^{2}}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.2

$10 \sec (t)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$10 \sec (t)$ を $10 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec (t) (\sec (t))) d t$

ステップ 2.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 2.2.3

式を書き換えます。

$\int \sec (t) d t$

ステップ 3

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

ステップ 4

$t$ のすべての発生を $\arctan (\frac{x}{10})$ で置き換えます。

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{10})) + \tan (\arctan (\frac{x}{10})) |) + C$

ステップ 5

項を並べ替えます。

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{10} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{10} x)) |) + C$

微分積分 例

微分積分例