微分積分例

$\int \frac{x^{2}}{3 - x^{3}} d x$

ステップ 1

$x^{3}$ を ${(x^{3})}^{1}$ に書き換えます。

$\int \frac{x^{2}}{3 - {(x^{3})}^{1}} d x$

ステップ 2

$u_{1} = x^{3}$ とします。次に $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = x^{3}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2}$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{3 - {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

簡約します。

$\int \frac{1}{3 - u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

ステップ 3.2

$\frac{1}{3 - u_{1}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int \frac{1}{(3 - u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

ステップ 3.3

$3$ を $3 - u_{1}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{3 (3 - u_{1})} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - u_{1}} d u_{1}$

ステップ 5

$u_{2} = 3 - u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = - d u_{1}$ すると、 $- d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{2} = 3 - u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 5.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 8

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{3} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

$\frac{1}{3} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

ステップ 9.2

$\frac{1}{3}$ と $\ln (| u_{2} |)$ をまとめます。

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} + C$

ステップ 10

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 10.1

$u_{2}$ のすべての発生を $3 - u_{1}$ で置き換えます。

$- \frac{\ln (| 3 - u_{1} |)}{3} + C$

ステップ 10.2

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$- \frac{\ln (| 3 - x^{3} |)}{3} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - x^{3} |) + C$

微分積分 例

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