微分積分例

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x - 1}$ を ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.3

${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{1}}$

ステップ 1.4

簡約します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

ステップ 1.5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

ステップ 1.5.2

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

ステップ 1.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 1$ とします。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

ステップ 1.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

ステップ 1.6.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

ステップ 1.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

ステップ 1.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

ステップ 1.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

ステップ 1.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

ステップ 1.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

ステップ 1.11

分数をまとめます。

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ステップ 1.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

ステップ 1.11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

ステップ 1.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

ステップ 1.11.4

$\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{2 x - 1}$

ステップ 1.12

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

ステップ 1.13

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

ステップ 1.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

ステップ 1.15

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

ステップ 1.16

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)}{2 x - 1}$

ステップ 1.17

項を簡約します。

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ステップ 1.17.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2 x - 1}$

ステップ 1.17.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

ステップ 1.17.3

$- 2$ と $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

ステップ 1.17.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

ステップ 1.18

共通因数を約分します。

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ステップ 1.18.1

$2$ を $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}}{2 x - 1}$

ステップ 1.18.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

ステップ 1.18.3

式を書き換えます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

ステップ 1.19

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

ステップ 1.20

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

ステップ 1.21

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

ステップ 1.22

指数を足して ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.22.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

ステップ 1.22.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

ステップ 1.22.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

ステップ 1.22.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{1} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

ステップ 1.23

${(2 x - 1)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{\frac{2 x - 1 - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

ステップ 1.24

$2 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

ステップ 1.25

$\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$ を積として書き換えます。

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 1}$

ステップ 1.26

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{2 x - 1}$ をかけます。

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1)}$

ステップ 1.27

指数を足して ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $2 x - 1$ を掛けます。

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ステップ 1.27.1

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $2 x - 1$ をかけます。

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ステップ 1.27.1.1

$2 x - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{1}}$

ステップ 1.27.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 1.27.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 1.27.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 1.27.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

分子を0に等しくします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 3

$x = 1$ における元の関数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 (1) - 1}}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 - 1}}$

ステップ 3.2.1.2

$2$ から $1$ を引きます。

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{1}}$

ステップ 3.2.1.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (1) = \frac{1}{1}$

ステップ 3.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$f (1) = 1$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 4

関数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ の水平接線は $y = 1$ です。

$y = 1$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例