微分積分例

$\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

ステップ 1

$f (x) = e^{- x} + 1$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

ステップ 2

和の法則を使って微分します。

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ステップ 2.1

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $e^{- x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$\frac{e^{x} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$\frac{e^{x} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{e^{x} (- e^{- x} + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.5

$- e^{- x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{x} (- e^{- x}) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 5

指数を足して $e^{x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$\frac{e^{- x} e^{x} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{- x + x} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 5.3

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{e^{0} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 6

$e^{0} \cdot - 1$ を簡約します。

$\frac{- 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 7

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{- 1 - (e^{- x} + 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 1 + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 1 - e^{- x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 8.3.1.1.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\frac{- 1 - (e^{x} e^{- x}) - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 1 - e^{x - x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.1.3

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{- 1 - e^{0} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.2

$- e^{0}$ を簡約します。

$\frac{- 1 - 1 - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1 - 1 - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.4

$- 1 e^{x}$ を $- e^{x}$ に書き換えます。

$\frac{- 1 - 1 - e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 2 - e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.4

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2) - e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.5

$- 1$ を $- e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (2) - (e^{x})}{e^{2 x}}$

ステップ 8.6

$- 1$ を $- 1 (2) - (e^{x})$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (2 + e^{x})}{e^{2 x}}$

ステップ 8.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 + e^{x}}{e^{2 x}}$

微分積分 例

微分積分例