微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u = x^{2} + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 1.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = x^{2} + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 1.5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u^{3}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

ステップ 2.2

$2$ を $u^{3}$ の左に移動させます。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2 u^{3}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} {(u^{3})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{- 3} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 3}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ です。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{2}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ および $1$ で $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

ステップ 6.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

ステップ 6.2.4

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

ステップ 6.2.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

ステップ 6.2.6

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2})$

ステップ 6.2.7

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

ステップ 6.2.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.2.8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4})$

ステップ 6.2.8.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{8})$

ステップ 6.2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4}{8}$

ステップ 6.2.10

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

ステップ 6.2.11

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{8}$ をかけます。

$\frac{3}{2 \cdot 8}$

ステップ 6.2.12

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{3}{16}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3}{16}$

10進法形式：

$0.1875$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例