微分積分例

$\int x \sin^{3} (x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sin^{3} (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - \int - \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\int - \cos (x) d x + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \int \cos (x) d x + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

ステップ 4

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int \cos^{3} (x) d x)$

ステップ 6

$\cos^{2} (x)$ を因数分解します。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int \cos^{2} (x) \cos (x) d x)$

ステップ 7

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cos^{2} (x)$ を $1 - \sin^{2} (x)$ に書き換えます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x)$

ステップ 8

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 8.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int 1 - u^{2} d u)$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (\int d u + \int - u^{2} d u))$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C + \int - u^{2} d u))$

ステップ 11

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C - \int u^{2} d u))$

ステップ 12

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)))$

ステップ 13

簡約します。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (u - \frac{1}{3} u^{3})) + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x))) + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.1.1

$\sin^{3} (x)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (\sin (x) - \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

ステップ 15.1.2

分配則を当てはめます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} \sin (x) + \frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

ステップ 15.1.3

$\frac{1}{3}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

ステップ 15.1.4

$\frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})$ を掛けます。

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ステップ 15.1.4.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{\sin^{3} (x)}{3}$ をかけます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{3 \cdot 3}) + C$

ステップ 15.1.4.2

$3$ に $3$ をかけます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

ステップ 15.2

$- \sin (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

ステップ 15.3

$- \sin (x)$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- \sin (x) \cdot 3}{3} + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

ステップ 15.4

公分母の分子をまとめます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- \sin (x) \cdot 3 + \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

ステップ 15.5

各項を簡約します。

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ステップ 15.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 15.5.1.1

$\sin (x)$ を $- \sin (x) \cdot 3 + \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 15.5.1.1.1

$\sin (x)$ を $- \sin (x) \cdot 3$ で因数分解します。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

ステップ 15.5.1.1.2

$1$ を掛けます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x) \cdot 1}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

ステップ 15.5.1.1.3

$\sin (x)$ を $\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x) \cdot 1$ で因数分解します。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3 + 1)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

ステップ 15.5.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 3 + 1)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

ステップ 15.5.1.3

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) \cdot - 2}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

ステップ 15.5.2

$- 2$ を $\sin (x)$ の左に移動させます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- 2 \cdot \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

ステップ 15.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \frac{2 \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

ステップ 15.6

分配則を当てはめます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - - \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

ステップ 15.7

$- - \frac{2 \sin (x)}{3}$ を掛けます。

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ステップ 15.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + 1 \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

ステップ 15.7.2

$\frac{2 \sin (x)}{3}$ に $1$ をかけます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

ステップ 15.8

$- - \frac{\sin^{3} (x)}{9}$ を掛けます。

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ステップ 15.8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} + 1 \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

ステップ 15.8.2

$\frac{\sin^{3} (x)}{9}$ に $1$ をかけます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} + \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2}{3} \sin (x) + \frac{1}{9} \sin^{3} (x) + C$

微分積分 例

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