微分積分例

$\int t^{3} e^{- t^{2}} d t$

ステップ 1

$u = - t^{2}$ とします。次に $d u = - 2 t d t$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = t d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = - t^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$- t^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

ステップ 1.1.2

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 t)$

ステップ 1.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 t$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

${\sqrt{- u}}^{2}$ を $- u$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- u}$ を ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2.1.4.2

式を書き換えます。

$\int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2.1.5

簡約します。

$\int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.4

$u$ に $1$ をかけます。

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.5

$\frac{1}{2}$ と $u$ をまとめます。

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

ステップ 2.6

$\frac{u}{2}$ と $e^{u}$ をまとめます。

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

ステップ 4

$w = u$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

ステップ 5

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

ステップ 6

簡約します。

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $- t^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}} - e^{- t^{2}}) + C$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}})$ を掛けます。

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ステップ 8.2.1

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$- \frac{t^{2}}{2} e^{- t^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

ステップ 8.2.2

$e^{- t^{2}}$ と $\frac{t^{2}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

ステップ 8.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{- t^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

ステップ 8.4

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{t^{2} e^{- t^{2}}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

ステップ 9

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} t^{2} e^{- t^{2}} - \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + C$

微分積分 例

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