微分積分例

$\tan (x + y) = x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\tan (x + y)) = \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$\sec^{2} (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\sec^{2} (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\sec^{2} (x + y) (1 + y')$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ の各項を $\sec^{2} (x + y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ の各項を $\sec^{2} (x + y)$ で割ります。

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

$\sec^{2} (x + y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

ステップ 5.1.2.1.2

$1 + y'$ を $1$ で割ります。

$1 + y' = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$1 + y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$

ステップ 5.1.3.2

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$ を ${(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + y' = {(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$

ステップ 5.1.3.3

正弦と余弦に関して $\sec (x + y)$ を書き換えます。

$1 + y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x + y)}})}^{2}$

ステップ 5.1.3.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x + y)}$ で割ります。

$1 + y' = {(1 \cos (x + y))}^{2}$

ステップ 5.1.3.5

$\cos (x + y)$ に $1$ をかけます。

$1 + y' = \cos^{2} (x + y)$

ステップ 5.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y' = \cos^{2} (x + y) - 1$

ステップ 5.2.2

$\cos^{2} (x + y)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$y' = - 1 + \cos^{2} (x + y)$

ステップ 5.2.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y' = - 1 (1) + \cos^{2} (x + y)$

ステップ 5.2.4

$- 1$ を $\cos^{2} (x + y)$ で因数分解します。

$y' = - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$

ステップ 5.2.5

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$ で因数分解します。

$y' = - 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$

ステップ 5.2.6

$- 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$ を $- (1 - \cos^{2} (x + y))$ に書き換えます。

$y' = - (1 - \cos^{2} (x + y))$

ステップ 5.2.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$y' = - \sin^{2} (x + y)$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \sin^{2} (x + y)$

微分積分 例

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