微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \sin (2 x) d x$

ステップ 1

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 1.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

ステップ 1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

ステップ 1.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) d u$

ステップ 4

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

ステップ 5

$\frac{π}{4}$ および $0$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (0))$

ステップ 6.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 7.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.14644660 \dots$

微分積分 例

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