微分積分例

$\int_{1}^{7} w^{2} \ln (w) d w$

ステップ 1

$u = \ln (w)$ と $d v = w^{2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (w) (\frac{1}{3} w^{3})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ と $w^{3}$ をまとめます。

$\ln (w) \frac{w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

ステップ 2.2

$\ln (w)$ と $\frac{w^{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $w$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{3} \frac{1}{w} d w)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$w^{3}$ と $\frac{1}{w}$ をまとめます。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w^{3}}{w} d w)$

ステップ 4.2

$w^{3}$ と $w$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$w$ を $w^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w} d w)$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$w$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w^{1}} d w)$

ステップ 4.2.2.2

$w$ を $w^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w^{2}}{1} d w)$

ステップ 4.2.2.5

$w^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{2} d w)$

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{2} d w$

ステップ 5

べき乗則では、 $w^{2}$ の $w$ に関する積分は $\frac{1}{3} w^{3}$ です。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{7}$

ステップ 6

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$7$ および $1$ で $\frac{\ln (w) w^{3}}{3}$ の値を求めます。

$(\frac{\ln (7) \cdot 7^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{7}$

ステップ 6.2

$7$ および $1$ で $\frac{1}{3} w^{3}$ の値を求めます。

$(\frac{\ln (7) \cdot 7^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$7$ を $3$ 乗します。

$\frac{\ln (7) \cdot 343}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.2

$343$ を $\ln (7)$ の左に移動させます。

$\frac{343 \cdot \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.4

$\ln (1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.5

$7$ を $3$ 乗します。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 343 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.6

$\frac{1}{3}$ と $343$ をまとめます。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

ステップ 6.3.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3})$

ステップ 6.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{343 - 1}{3}$

ステップ 6.3.10

$343$ から $1$ を引きます。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{342}{3}$

ステップ 6.3.11

$342$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.11.1

$3$ を $342$ で因数分解します。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3}$

ステップ 6.3.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.11.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3 (1)}$

ステップ 6.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3 \cdot 1}$

ステップ 6.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{114}{1}$

ステップ 6.3.11.2.4

$114$ を $1$ で割ります。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot 114$

ステップ 6.3.12

$114$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - 114 (\frac{1}{3})$

ステップ 6.3.13

$- 114$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{- 114}{3}$

ステップ 6.3.14

$- 114$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.14.1

$3$ を $- 114$ で因数分解します。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3}$

ステップ 6.3.14.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.14.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3 (1)}$

ステップ 6.3.14.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3 \cdot 1}$

ステップ 6.3.14.2.3

式を書き換えます。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{- 38}{1}$

ステップ 6.3.14.2.4

$- 38$ を $1$ で割ります。

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - 38$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

公分母の分子をまとめます。

$- 38 + \frac{343 \ln (7) - \ln (1)}{3}$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$- 38 + \frac{343 \ln (7) - 0}{3}$

ステップ 7.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 38 + \frac{343 \ln (7) + 0}{3}$

ステップ 7.3

$343 \ln (7)$ と $0$ をたし算します。

$- 38 + \frac{343 \ln (7)}{3}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 38 + \frac{343 \ln (7)}{3}$

10進法形式：

$184.48239370 \dots$

微分積分 例

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