微分積分例

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} x^{4}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.2.3

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{4}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.2.5

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.2.5.2.4

$2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $2 x^{3} + 6 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x)$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x^{2} + 12 x$ です。

$6 x^{2} + 12 x$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} + 12 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} + 12 x = 0$

ステップ 2.2

$6 x$ を $6 x^{2} + 12 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$6 x$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 x (x) + 12 x = 0$

ステップ 2.2.2

$6 x$ を $12 x$ で因数分解します。

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

ステップ 2.2.3

$6 x$ を $6 x (x) + 6 x (2)$ で因数分解します。

$6 x (x + 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.6

最終解は $6 x (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3}$

ステップ 3.1.2.1.2

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3}$

ステップ 3.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

ステップ 3.1.2.1.4

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 3.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 3.3

$- 2$ を $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + 2 {(- 2)}^{3}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 {(- 2)}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) + 2 {(- 2)}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) + 2 {(- 2)}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (- 2) = 8 + 2 {(- 2)}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f (- 2) = 8 + 2 \cdot - 8$

ステップ 3.3.2.1.4

$2$ に $- 8$ をかけます。

$f (- 2) = 8 - 16$

ステップ 3.3.2.2

$8$ から $16$ を引きます。

$f (- 2) = - 8$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $- 8$ です。

$- 8$

ステップ 3.4

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ で代入して $- 2$ 求めた点は、 $(- 2, - 8)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2, - 8)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (- 2, - 8)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2.1$ で置換えます。

$f'' (- 2.1) = 6 {(- 2.1)}^{2} + 12 (- 2.1)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 2.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2.1) = 6 \cdot 4.41 + 12 (- 2.1)$

ステップ 5.2.1.2

$6$ に $4.41$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = 26.46 + 12 (- 2.1)$

ステップ 5.2.1.3

$12$ に $- 2.1$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = 26.46 - 25.2$

ステップ 5.2.2

$26.46$ から $25.2$ を引きます。

$f'' (- 2.1) = 1.26$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $1.26$ です。

$1.26$

ステップ 5.3

$- 2.1$ で二次導関数は $1.26$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 2)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 2, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

ステップ 6.2.1.2

$6$ に $1$ をかけます。

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

ステップ 6.2.1.3

$12$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- 1) = 6 - 12$

ステップ 6.2.2

$6$ から $12$ を引きます。

$f'' (- 1) = - 6$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 6$ です。

$- 6$

ステップ 6.3

$- 1$ で二次導関数は $- 6$ です。これは負の値なので、 $(- 2, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 2, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

ステップ 7.2.1.2

$6$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.06 + 12 (0.1)$

ステップ 7.2.1.3

$12$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.06 + 1.2$

ステップ 7.2.2

$0.06$ と $1.2$ をたし算します。

$f'' (0.1) = 1.26$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $1.26$ です。

$1.26$

ステップ 7.3

$0.1$ で二次導関数は $1.26$ です。これは正の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 8), (0, 0)$ .

$(- 2, - 8), (0, 0)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例