微分積分例

$\int \sin (\sqrt{x}) d x$

ステップ 1

$u = \sqrt{x}$ とします。次に $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ すると、 $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

$\int 2 u \sin (u) d u$

ステップ 2

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int u \sin (u) d u$

ステップ 3

$w = u$ と $dv = \sin (u)$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$2 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

ステップ 5.2

$\int \cos (u) d u$ に $1$ をかけます。

$2 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

ステップ 6

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$2 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

ステップ 7

$2 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ を $2 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ に書き換えます。

$2 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $\sqrt{x}$ で置き換えます。

$2 (- \sqrt{x} \cos (\sqrt{x}) + \sin (\sqrt{x})) + C$

微分積分 例