微分積分例

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{3^{2} - x^{2}} d x$

ステップ 1

$3$ を $2$ 乗します。

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 3 \sin (t)$ とします。次に $d x = 3 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $3 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1.1

積の法則を $3 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.1.3

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.2

$9$ を $9$ で因数分解します。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.3

$9$ を $- 9 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.4

$9$ を $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ を ${(3 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

ステップ 3.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

ステップ 3.2.3

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

ステップ 3.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 3.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos^{2} (t) d t$

ステップ 4

$9$ は $t$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos^{2} (t) d t$

ステップ 5

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t)$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{9}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{9}{2} (\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} d t + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

ステップ 10

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 10.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 10.2

$u = 2 t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot - 0.72972765$

ステップ 10.3

$2$ に $- 0.72972765$ をかけます。

$u_{lower} = - 1.45945531$

ステップ 10.4

$u = 2 t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 0.3398369$

ステップ 10.5

$2$ に $0.3398369$ をかけます。

$u_{upper} = 0.67967381$

ステップ 10.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 1.45945531$

$u_{upper} = 0.67967381$

ステップ 10.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 11

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) d u)$

ステップ 13

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

ステップ 14

代入し簡約します。

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ステップ 14.1

$0.3398369$ および $- 0.72972765$ で $t$ の値を求めます。

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

ステップ 14.2

$0.67967381$ および $- 1.45945531$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} ((\sin (0.67967381)) - \sin (- 1.45945531)))$

ステップ 14.3

$0.3398369$ と $0.72972765$ をたし算します。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} (\sin (0.67967381) - \sin (- 1.45945531)))$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} \sin (0.67967381) + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

ステップ 15.1.2

$\frac{1}{2}$ と $\sin (0.67967381)$ をまとめます。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

ステップ 15.1.3

$\frac{1}{2}$ と $\sin (- 1.45945531)$ をまとめます。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

ステップ 15.1.4

各項を簡約します。

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ステップ 15.1.4.1

$\sin (0.67967381)$ の値を求めます。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{0.62853936}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

ステップ 15.1.4.2

$0.62853936$ を $2$ で割ります。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

ステップ 15.1.4.3

$\sin (- 1.45945531)$ の値を求めます。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{- 0.99380799}{2})$

ステップ 15.1.4.4

$- 0.99380799$ を $2$ で割ります。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - - 0.49690399)$

ステップ 15.1.4.5

$- 1$ に $- 0.49690399$ をかけます。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 + 0.49690399)$

ステップ 15.1.5

$0.31426968$ と $0.49690399$ をたし算します。

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.81117367)$

ステップ 15.2

$1.06956456$ と $0.81117367$ をたし算します。

$\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$

ステップ 15.3

$\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$ を掛けます。

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ステップ 15.3.1

$\frac{9}{2}$ と $1.88073824$ をまとめます。

$\frac{9 \cdot 1.88073824}{2}$

ステップ 15.3.2

$9$ に $1.88073824$ をかけます。

$\frac{16.92664417}{2}$

ステップ 15.4

$16.92664417$ を $2$ で割ります。

$8.46332208$

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例