微分積分例

$\frac{x^{2}}{x + 1}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$2$ を $x + 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x + 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

$x$ を $x^{2} + 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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