微分積分例

$\int_{4}^{9} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

ステップ 1

$\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ を積として書き換えます。

$\int_{4}^{9} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

ステップ 2

$u = \ln (y)$ と $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

ステップ 3.2

$y^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{y}$ をまとめます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

ステップ 3.3

$2$ を $y^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

ステップ 3.4

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $y^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

ステップ 3.5

指数を足して $y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

ステップ 3.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

ステップ 3.5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

ステップ 3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

ステップ 3.5.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

ステップ 4

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - (2 \int_{4}^{9} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

ステップ 5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

ステップ 5.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

ステップ 5.3

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

ステップ 5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{- \frac{1}{2}} d y$

ステップ 6

べき乗則では、 $y^{- \frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $2 y^{\frac{1}{2}}$ です。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

ステップ 7

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$9$ および $4$ で $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ の値を求めます。

$(\ln (9) (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

ステップ 7.2

$9$ および $4$ で $2 y^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$(\ln (9) (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\ln (9) (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (9) (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

共通因数を約分します。

$\ln (9) (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.3.2

式を書き換えます。

$\ln (9) (2 \cdot 3^{1}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.4

指数を求めます。

$\ln (9) (2 \cdot 3) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.5

$2$ に $3$ をかけます。

$\ln (9) \cdot 6 - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.6

$6$ を $\ln (9)$ の左に移動させます。

$6 \cdot \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.8

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.9

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.9.1

共通因数を約分します。

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.9.2

式を書き換えます。

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{1}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.10

指数を求めます。

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.11

$2$ に $2$ をかけます。

$6 \ln (9) - \ln (4) \cdot 4 - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.12

$4$ に $- 1$ をかけます。

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.13

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.14

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.15

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.15.1

共通因数を約分します。

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.15.2

式を書き換えます。

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.16

指数を求めます。

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.17

$2$ に $3$ をかけます。

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.18

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.19

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

ステップ 7.3.20

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.20.1

共通因数を約分します。

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

ステップ 7.3.20.2

式を書き換えます。

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{1})$

ステップ 7.3.21

指数を求めます。

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2)$

ステップ 7.3.22

$- 2$ に $2$ をかけます。

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 4)$

ステップ 7.3.23

$6$ から $4$ を引きます。

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 \cdot 2$

ステップ 7.3.24

$- 2$ に $2$ をかけます。

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 4$

ステップ 8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\ln (4)$ を $\ln (2^{2})$ に書き換えます。

$6 \ln (9) - 4 \ln (2^{2}) - 4$

ステップ 8.2

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{2})$ を展開します。

$6 \ln (9) - 4 (2 \ln (2)) - 4$

ステップ 8.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$6 \ln (9) - 8 \ln (2) - 4$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$6 \ln (9) - 8 \ln (2) - 4$

10進法形式：

$3.63817001 \dots$

微分積分 例

微分積分例