微分積分例

$y = \sin (x y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x y))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 3.5

$y$ に $1$ をかけます。

$\cos (x y) (x y' + y)$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

ステップ 3.6.2

項を並べ替えます。

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ の因数を並べ替えます。

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $x y' \cos (x y)$ を引きます。

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

ステップ 5.3

$y'$ を $y' - x y' \cos (x y)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $- x y' \cos (x y)$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ で因数分解します。

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

ステップ 5.4

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ の各項を $1 - x \cos (x y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ の各項を $1 - x \cos (x y)$ で割ります。

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$1 - x \cos (x y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

微分積分 例

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