微分積分例

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 9}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 9}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $3$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.3.2

$9$ から $9$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{0}{3 - 3}$

ステップ 1.1.3.3.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.4

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x}{1 + 0}$

ステップ 1.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x}{1}$

ステップ 1.4

$2 x$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 3} 2 x$

ステップ 2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 3} x$

ステップ 3

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cdot 3$

ステップ 4

$2$ に $3$ をかけます。

$6$

微分積分 例

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