微分積分例

$\frac{5}{x^{2} + 5}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{x^{2} + 5}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 5}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 5}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x^{2} + 5}$ を ${(x^{2} + 5)}^{- 1}$ に書き換えます。

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 5$ とします。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 5$ で置き換えます。

$5 (- {(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 ({(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 3.4

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + 0)$

ステップ 3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x)$

ステップ 3.5.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$- 10 {(x^{2} + 5)}^{- 2} x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 10 \frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 10$ と $\frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{10}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

ステップ 4.2.3

$x$ と $\frac{10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.4

$10$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{10 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

微分積分 例

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