微分積分 例

極限を求める xが(sin(3x))/xの0に近づく極限
ステップ 1
ロピタルの定理を当てはめます。
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ステップ 1.1
分子と分母の極限値を求めます。
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ステップ 1.1.1
分子と分母の極限値をとります。
ステップ 1.1.2
分子の極限値を求めます。
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ステップ 1.1.2.1
極限を求めます。
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ステップ 1.1.2.1.1
正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。
ステップ 1.1.2.1.2
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 1.1.2.2
に代入し、の極限値を求めます。
ステップ 1.1.2.3
答えを簡約します。
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ステップ 1.1.2.3.1
をかけます。
ステップ 1.1.2.3.2
の厳密値はです。
ステップ 1.1.3
に代入し、の極限値を求めます。
ステップ 1.1.4
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
ステップ 1.2
は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。
ステップ 1.3
分子と分母の微分係数を求めます。
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ステップ 1.3.1
分母と分子を微分します。
ステップ 1.3.2
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
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ステップ 1.3.2.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 1.3.2.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 1.3.2.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 1.3.3
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.3.4
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.3.5
をかけます。
ステップ 1.3.6
の左に移動させます。
ステップ 1.3.7
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.4
で割ります。
ステップ 2
極限を求めます。
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ステップ 2.1
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 2.2
余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。
ステップ 2.3
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 3
に代入し、の極限値を求めます。
ステップ 4
答えを簡約します。
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ステップ 4.1
をかけます。
ステップ 4.2
の厳密値はです。
ステップ 4.3
をかけます。