微分積分例

$\frac{x}{e^{x}}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 2.3

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.2

$e^{x}$ を $- e^{x} x + e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1

$e^{x}$ を $- e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.2.2

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

ステップ 4.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

ステップ 4.3

$e^{x}$ と $e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$e^{2 x}$ を $e^{x} (- x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 4.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

ステップ 4.3.2.4

$e^{- x} (- x + 1)$ を $1$ で割ります。

$e^{- x} (- x + 1)$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

ステップ 4.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

ステップ 4.6

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$- e^{- x} x + e^{- x}$

ステップ 4.7

$- e^{- x} x + e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$- x e^{- x} + e^{- x}$

微分積分 例

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